Astérisque, n° 466. Geometrization of the local Langlands correspondence

Ce que dit l'éditeur

Dans ce texte, suivant les idées du premier auteur, nous développons les fondations du programme de Langlands géométrique sur la courbe de Fargues-Fontaine. Pour cela, nous définissons et étudions le champ des G-fibrés sur cette même courbe, G étant un groupe réductif sur un corps p-adique. Nous définissons une catégorie dérivée des faisceaux l-adiques sur ce champ et construisons sur cette même catégorie une action spectrale monoïdale des complexes parfaits sur le champ des paramètres de Langlands associé au choix de G. Un des outils principaux est la construction d'une équivalence de Satake géométrique dans ce cadre. Comme application nous construisons les paramètres de Langlands semi-simples associés aux représentations lisses irréductibles du groupe réductif p-adique G. Plus généralement, nous construisons un morphisme du centre spectral, l'anneau des fonctions sur l'espace de modules grossier des paramètres de Langlands, vers le centre de Bernstein usuel.

In this text, following the ideas of the first author, we develop the foundations of the geometric Langlands program on the Fargues-Fontaine curve. For that, we define and study the stack of G-bundles on this curve, G being a reductive group over a p-adic field. We define a derived category of l-adic sheaves on this stack and construct on this category a spectral monoidal action of the perfect complexes on the stack of Langlands parameters associated to the choice of G. One of the main tools to do this is the construction of a geometric Satake equivalence in this context. As an application we construct the semisimple Langlands parameters associated to the smooth irreducible representations of the p-adic group G. More generally, we construct a morphism from the spectral center, the ring of functions on the coarse moduli space of Langlands parameters, towards the Bernstein center.