Cet article prolonge des travaux antérieurs de Bovier-Eckhoff-Gayrard-Klein, Bovier-Gayrard-Klein et Helffer-Klein-Nier. L'objet principal en est l'analyse des petites valeurs propres du Laplacien associé à la forme quadratique

(...),

où Oméga est un domaine borné régulier et f est une fonction de Morse sur M = (...). Les travaux précédents traitaient le cas d'une variété compacte M sans bord ou le cas M = (...). Ici nous analysons le cas d'une variété compacte à bord. Après l'introduction d'un complexe de cohomologie de Witten adapté au cas à bord, nous donnons une description très précise des valeurs propres exponentiellement petites. En particulier, nous traitons l'effet du bord sur les développements asymptotiques.

This article is a continuation of previous works by Bovier-Eckhoff-Gayrard-Klein, Bovier-Gayrard-Klein and Helffer-Klein-Nier. The main object is the analysis of the small eigenvalues (...) of the Laplacian attached to the quadratic form

(...)

where Oméga is a bounded connected open set with (...) boundary and f is a Morse function on M = (...). The previous works were devoted to the case of a manifold M which is compact but without boundary or (...). Our aim is here to analyze the case with boundary. After the introduction of a Witten cohomology complex adapted to the case with boundary, we give a very accurate asymptotics for the exponentially small eigenvalues. In particular, we analyze the effect of the boundary in the asymptotics.

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